迈向数学的独立

拓扑，但他们很难导入任何拓扑符号，加在剧他们的作品不能阅读。

拉格朗日和费马也为拓扑学带来了取而代之推动力，他们创设的解析几何脱离了拓扑和几何。尽管曲中央线切中央线的判别缺陷，以及如何寻找一条曲中央线的切中央线等缺陷早就在更加特殊的情况下取得妥善解决（例如亚里斯多德的螺旋中央线），但今日我们可以用一种有效率的方式为对它们进行时深入研究，这也实际上加在剧牛顿和笛卡儿发明拓扑学。笛卡儿似乎早就十分知道了许多未来拓扑学的工业发展。他不仅指明地将 公文数作为具体来真是导入拓扑学，从而为泛公文统计分析造就基本；而且在他尚未借助的标准化释义 （universal characteristics）方法论中都[5] ，他幸福着揭示所有事物的拓扑结构设计，并结构上一种普世的启发式来进行时表达和推理。因此，他不考虑到于拉格朗日的解析中央代数学，因为它缺少坐标系的举例来真是。确实是在困惑中都，他预唯到了中央代数学必定仅有一种内蕴的拓扑结构设计，而中央线性拓扑和格拉斯贝特拓扑（编者注：参唯《 格拉斯贝特: 扩展的留心与中央线之拓扑丨贤真是八道 》） 可以真是大部分地借助了他的这个幸福。不幸的是，他所处的基本上十分能接受他不够超前的思想体系，他很难足够的改革者来工业发展他所构想的道路。不过他在拓扑学总体的指导被为广泛地转用了，除此以外是他所创设的几何和积分的符号。而拓扑学也在较长很久内成为拓扑学的一个主要的应用领邻接。

19世纪由罗巴切马罗和雷纳扎[6] 分别脱离挖掘出的非几何学中央代数学是另一进步。截止那时，古典基本上为拓扑学专设下的所有界限都被打破了：（几何学）中央代数学早已是由感知经验所只不过在给我们的，其所忽视的是进化基于质数的造就；我们可以构想有所不同的质数系统来深入研究有所不同的中央代数学。康德所除此以外强调的我们对于内部空间方法论的“假定性（a priori）”由此变得取而代之了[7] 。那么，中央代数学的只不过到底是扎么？在当时，人们将一个带有传递性；也起着的内部空间作为几何的脱离性方法论，例如几何学内部空间的传递；也起着事实上就是几何学平移变换。因此，中央代数学成为一个；也起着的不变量和共值得注意的方法论。但实际上，这个判别只适用覆盖范围于嘉当内部空间中都的中央代数学，而其他繁多的几何已被挖掘出，人们感到有应该对几何和内部空间的方法论进行时另外的概括。这最终加在剧了拓扑内部空间的判别，它是回答所有关于连续性、瞬时和近似缺陷的恰当词汇，也使得统计分析和几何应用领邻接中都许多共同的结构设计再一显现。

在同一初，阿贝尔[8] 的交集方法论出现了，并日趋成为所有拓扑学谱系脱离的基本方法论。这是拓扑学中都一种取而代之范例化方式为。如阿贝尔所真是，从那时开始“拓扑学的工业发展就是基本上意志的了”，交集论中都的方法论“只承诺不纷争，并与以后导入的方法论通过精确的判别相互联系即可”。尽管不久之后，人们挖掘出了一些造成危害阿贝尔交集方法论的悖论，从而造成危害整个拓扑学大厦，但阿贝尔的杰作开启了传统拓扑学有意识之路。

自本世纪初以来[9] ，拓扑学方法论中都造就的意志使得人们在交集上考虑了许多取而代之拓扑学结构设计。除了各种繁多的拓扑结构设计（如；也、环、邻接、半；也、模、拓扑、郑拓扑等），还有许多测度和概率模型结构设计以及对各种各样的拓扑结构设计的精细化：仅有匀结构设计、度量内部空间、拓扑流形、带有各种几何结构设计的可微或统计分析流形，如黎贝特流形及其上的求助、拓扑流形等。考虑同一交集上的有所不同结构设计可以结构上取而代之拓扑学具体来真是，如郑；也、拓扑向量内部空间、巴拿赫内部空间、希尔伯特内部空间、赋范拓扑，等等。这些结构设计的导入主要是为了考虑到纯拓扑学工业发展的需要，而一旦它们被不够多的人所了解，它们在其他应用领邻接的能用自然就会越来越多，能用拓扑学方法论的人也就会越来越多。

在导入所有这些有所不同繁多的拓扑学结构设计之后，人们深切地感受到了脱离的应该性；经过一段不够快扩张的初，如果很难一种脱离的方法论将各个应用领邻接联系起来，那么一个不会挡住的趋势便是，有所不同的拓扑学家们将和亚特兰蒂斯的建造者们一样，使用有所不同的、归结的拓扑学语法工业发展各自的应用领邻接。

考虑到这些方法论的相互近性，我们可以通过对 结构设计这一方法论，或者不够确切地真是，交集上某一特定繁多的结构设计的一般性判别取得某种脱离。这一思想体系是由巴尔巴基学派 [10] 工业发展而来，也是他们编纂的系列教材《拓扑学缘故》（ Éléments de mathématique ） 中都素材顺序的编排基本。在拓扑学深入研究的最开始就被为广泛考虑的整数和几何学内部空间这两种结构设计，一旦被质数化地判别，就更加相符地基本上相互同着交集上某一种结构设计，即所有考虑到此类结构设计的具体来真是都是同构的。但传统拓扑学所导入的交集上的有所不同结构设计几类（例如；也或拓扑结构设计）十分带有这种所有基。

交集上一般结构设计的方法论可以用类别和公文子的方法论来进行时不够加在普遍的质数化，而类别论的工业发展似乎是当今拓扑学最具特色的一种脱离的趋势；基于此，我看来它之后就就会像其他基本应用领邻接一样，如中央线性拓扑和拓扑学，在学院早期就被教授。[11]

一个类别是由魔族系成份和在它们便是大部分判别的相联操作者所密切相互关的[12] ，同时相联需要考虑到一定的比赛规则（质数）。例如，每一个；也都是一个特殊的类别，相联操作者和；也的行列式原则上，这使得其中都每个成份在这个相联操作者下都是可逆的，且只有一个单位元；但最相互比较的例子还是所有交集间的公文数所密切相互关的类别，其中都的一个成份是两个交集两者之间的一个拓扑，相联操作者则和通常公文数两者之间的相联相互原则上。范例化类别的质数化正是基于这个由交集两者之间的拓扑密切相互关的类别所提出的。我们把类别中都一个成份叫作一个 态射，而不称其为公文数，可以将其想象为从一个星体 （态射的非同）到另一个星体（态射的靶）的一个圆点。因此，类别论中都态射的一般方法论是公文数方法论的推展，而公文数被戴德金看来是拓扑学的基本上来进行时。

公文子是类别两者之间持续保持相联操作者的拓扑。它们再次密切相互关了一个类别，即公文子的类别。对于我们通常所考虑的交集上附加在的某种拓扑学结构设计，它们两者之间的 等价关系也密切相互关一个类别。对于所有的这些类别都可以自然地判别一个公文子，拓扑到以后说明了的交集两者之间的公文数所密切相互关的类别 [13] ；这通常被称为遗忘公文子 （forgetful functor），即在这个公文子的起着下我们忘记了交集上其它的结构设计，仅仅延续了最基本上交集的资讯。例如，所有拓扑内部空间两者之间的连续拓扑密切相互关的类别，亦或是所有；也等价关系所密切相互关的类别，都有如上说明了的遗忘公文子。

今日，我们可以不够范例化地考虑从类别 H 到类别 C 的任意一个公文子 p 。根据上面的讨论，在这个词汇下，我们则可以将 H 的任意一个星体 S 看做是相互对于公文子 p 的一个结构设计，或不够确切地真是是 C 类别中都的星体 p(S) 上的一个 p -结构设计。因此， H 可以看做是 C 上的 p -结构设计所密切相互关的类别。令人惊讶的是，许多有关交集上某种特定结构设计的方法论和结构上可以被如上说明了有关 p -结构设计的一般方法论所脱离起来。我们可以在这个框架下判别子结构设计、数家结构设计、意志结构设计、拉格朗日积、魔族系星体的和，或不够为为广泛的任意一个公文子的瞬时和余瞬时，等等。目前我认为，今日的拓扑学深入研究将就会不够少地关心单个 p -结构设计的本质，甚至也不就会那么关心某一个公文子 p 的本质；相互反，今日拓扑学的要能应该是深入研究某魔族系公文子的本质，使得曾经对于某一特定公文子 p 和其基本上相互同的 p -结构设计创设的定律，今日对于这魔族系中都任意的公文子都创设。一旦解释了 这个定律有效率的真正原因，我们一般就会挖掘出，只有相当多的一些条件 （假设）是表明这个定律所真正应该的。因此，原来定律的表明如今可以推展到一类更加为广泛的公文子上，而不仅仅只对缘故的 p 公文子适用覆盖范围。除此以外地，这个定律似乎就会包含许多已相符的公文子，从而能用于我们早已想过的应用领邻接。例如，有关拓扑内部空间的紧致化，仅有匀内部空间的完备化，意志；也、意志模或不够一般的由一个交集转化成的意志拓扑的结构上，都可以看做是某一类范例化的公文子意志结构设计发挥作用性定律的推论。

当然，上述对拓扑学进行时脱离的方案不够相符合。事实上，只有拓扑学家们的想象力才能持续地挖掘出取而代之新奇的公文子类。如我们所唯，在拓扑学中都，造就步骤的一个优点是把基本上判别的一类具体来真是作为一个取而代之拓扑学具体来真是来加在以认识。当我们开始深入研究有所不同公文子的分类及其本质来梳理脱离既有的拓扑学方法论时，我们究竟在这个极高的层次面对着相互同的缺陷？一旦这个新方法论方向发展未成熟且再次比较复杂、纠缠不清，我们究竟有应该工业发展极高相互对的脱离方法论？我们不试图回答这个缺陷。然而，我们日趋动人地认识到，拓扑学是一个绝不就会进行时时的造就步骤，它的发挥作用性十分需要通过它的最主要性或是扩大的能用覆盖范围来表明；它的内涵足以不仅是充当“物理学的推土机”。拓扑学是解释整个地球的不够为重要，脱离了进化从科学知识到哲学到现象学的所有的有意识。因此，黑格尔和笛卡儿的杰作难得，即让拓扑学成为一切专业知识只不过的难得，似乎就此借助。

文中

[1] 玛格丽特·柏格森 (Henri Bergson, 1859-1941)，德国哲学家，文学家，于1927年凭借丰富、富有活力的思想体系和语法给予诺贝尔文学奖（英译本注；全文所有的脚注仅有为英译本所加在，后早已一一指明）。

[2] 欧多科斯（Eudoxus，408 B.C.–355 B.C. ），荷马拓扑学家、天文学，几何学《几何缘故》中都的许多素材很有似乎是叫做欧多科斯，一些人看来他是荷马最杰出成就的拓扑学家。

[3] 里查德·戴得金（Richard Dedekind，1831-1916），奥地利拓扑学家，在算术、范例化拓扑（除此以外是环论）以及算数的质数化等应用领邻接做出更加最主要的助益。

[4] 弗朗索瓦·策（François Viète，1540-1603），德国拓扑学家，初高中都生们相互像的策定律就叫做他。

[5] 标准化释义 （拉丁语为characteristica universalis），是笛卡儿所构想的一种标准化的范例化语法，该语法能够表达拓扑学、科学知识以及现象学等总体的方法论，并支持一种标准化的逻辑上演算。

[6] 伊莉莎白·罗巴切马罗（Nikolai Lobachevsky，1792-1856 ），苏联政府拓扑学家；鲍耶·雷纳扎（János Bolyai, 1802-1860），匈牙利拓扑学家，他们和高斯境遇在同一基本上。两人仅有脱离的为非欧几何，除此以外是双曲几何，做出了最主要助益。

[7] 康德看来进化对短时间和内部空间的认识不是通过方法论化（conceptualisation）的方式为进行时时的，它们是我们感观直觉的纯粹范例（pure form of sensible intuition）。更加相符合地来真是，前者涉及知性（understanding）的营运，而后者演化成的专业知识则是假定的。

[8] 格奥尔格·阿贝尔（Georg Cantor，1845-1918），是现居苏联政府的奥地利拓扑学家，创设了传统交集论，是非零的严苛判别及整个拓扑学经济体制的方法论基本，为拓扑学基本（foundation of mathematics）做出了杰出成就的助益。

[9] 这里指本文记事的短时间，即20世纪。

[10] 伊莉莎白·巴尔巴基（Nicolas Bourbaki）是20世纪一；也德国拓扑学家的共同笔名，他们自1935年开始撰写一系列关于传统高等拓扑学的书籍，以把所有拓扑学建立在交集论基础的基本便是为目的。在这个步骤中都，他们不遗余力将拓扑学方法论尽似乎地普遍化和严谨化， 对20世纪之后的拓扑学工业发展激发了动人的影响。

[11] 类别论最早起非同于1945年Eilenberg和MacLane 的题为General Theory of Natural Equivalences的论文，在随后的几十年内作为一门拓扑学语法和来进行时迅速地参与到各个拓扑学谱系的工业发展之中都。感到遗憾的是，本文作者埃瓦尔贝特的这一猜测直到多年后的今天也并未在大多数的学院内成为现实。

[12] 在传统的类别论语法中都，一般把类别判别为两种几类的成份，即星体和它们两者之间的态射，所密切相互关的拓扑学具体来真是；但也可以仅仅将一个类别解释为魔族系态射加在上上面大部分判别的相联操作者，因为类别中都的星体和单位态射是一一基本上相互同的。换句话真是，态射的资讯包含了星体的资讯。本文对类别所采取的是后一种解释。

[13] 即把一个等价关系看做是其基本上相互同的交集两者之间的公文数。

本文译自 Ehresmann Charles. "Trends toward unity in mathematics." Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 8 (1966): 1-7.

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